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成考专升本数学集合和简易逻辑(三)
2015-01-08 16:57:03   来源:   评论:0 点击:
  【集合与集合的关系】

  一些给定的集合,它们之间可以有种种关系,不过,最基木的要算“包含”与“相等”的关系。

  .1.子集:对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则集合A 叫做集合B的子集,记作A⊆B 或 B⊇A,

  读作“A包含于B”,或“B包含A”.

  子集的性质:

  (1) 任何一个集合A是它本身的子集:A⊆A,因为集合A的任何一个元素都属于集合A本身;

  (2) 空集是任何一个集合A的子集:Ф∊A;

  (3) 对于集合 A、B、C, 如 A⊆B, B⊆C,则 A⊆C.

  2. 集合相等:对于两个集合A与B,如果A⊆B,同时B⊆A,那么称集合A与集合B相等,记作A = B,

  读作:“A等于B”这就是说,集合A的任何一个元素都是集合B的元素;反之,集合B的任何 一个元素都是集合A的元素.因而这两个集合包含的元素完全一样,两个集合是同一个集合.

  3. 真子集:如果且A⊆B且A≠B则称集合A为集合B的真子集,记作

  A⊊B或 B⊋A,

  通常表示为 A⊂B或B⊃A.

  下面是常见几种数集的关系:

  N⊊Z, Z⊊Q, Q⊊R.

  4. 交集:由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B(图1.2),即

  A∩B= {x | x∈A 且x∈B}

 \
            图1. 2                                             图1. 3

  交集的性质:

  (1) A∩A = A; (2) A∩Ф=Ф; (3) A∩B=B∩A (交换律).

  5. 并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作AUB,读作“A并B”(如图1.3),即

  A⋃B= {x /X∊A 或x∊B}.并集的性质:

  (1) AUA=A; (2) AUФ=A, (3) AUB = BUA (交换律).

  6. 全集与补集

  (1)全集:在研究某些集合与集合之间的关系时,如果这些集合都是某一个集合的子集,则这个给定的集合叫做全集,用符号U表示.这就是说,全集含有所要研究的各个集合的全部元素。

  例如,在研究数集时,常常把实数集R作为全集;在研究图形的集合时,常常把所有的空间图形组成的集合作为全集.

  注意:全集是相对于所讨论的问题而言的,一个集合在一定条件下是全集,在另一个条件下就可能不是全集.例如,讨论的集合仅含整数元时,则整数集可作为全集;若讨论的集合包括分数元时,则整数集不是全集,而有理数集或实数集则可作为全集.

  (2)补集:如果已知全集为U,且集合A⊆U,则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集,记作CuA,当明确时,简记作CA (读作“A补”),即

  CA= {x |x∊U 且 x∉A

  图1.4 中的长方形内表示全集U,圆的内部表示集合A,斜线部分表示集合A在集合U中的 补集CA.换句话说,集合A的补集CA是从全集U中除去集合A的元素后剩下的元素组成的集合.如U=R= {实数},Q= {有理数},则Q的补集为 CQ= {无理数}.

  全体无理数的集合CQ叫做无理数集.            图1.4\

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